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电磁学公式物理量总结

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一、 核心物理量

静电场

  • 电荷量 (q): 物体所带电荷的多少，基本单位是库仑 (C)。电子电荷量 \(e \approx 1.6 \times 10^{-19} \text{C}\)。
  • 电场强度 (E): 描述电场力性质的物理量，定义为放入电场中某点的单位正电荷所受的电场力。矢量，单位 N/C 或 V/m。
  • 电荷密度 (\(\lambda, \sigma, \rho\)): 分别表示单位长度、面积、体积内的电荷量，用于描述连续分布的电荷。
  • 电通量 (\(\Phi_e\)): 表示穿过某一曲面的电场线的“数量”，是电场强度对面积的积分。
  • 电势能 (W): 电荷在电场中具有的势能，与电场力做功相关。
  • 电势 (U): 描述电场能量性质的物理量，定义为单位正电荷在电场中某点具有的电势能。标量，单位伏特 (V)。
  • 电容 (C): 电容器储存电荷能力的物理量，定义为电容器所带电荷量与两极板间电势差的比值。单位法拉 (F)。
  • 极化强度 (P): 描述电介质被极化程度的物理量，定义为单位体积内分子电矩的矢量和。
  • 电位移矢量 (D): 为处理电介质问题引入的辅助矢量，其通量仅与自由电荷有关。

稳恒磁场

  • 磁感应强度 (B): 描述磁场力性质的物理量，类似于电场强度。矢量，单位特斯拉 (T)。
  • 洛伦兹力 (F): 运动电荷在磁场中所受到的力。
  • 磁通量 (\(\Phi_m\)): 表示穿过某一曲面的磁感线的“数量”，是磁感应强度对面积的积分。单位韦伯 (Wb)。
  • 磁矩 (\(p_m\)): 描述载流线圈或微观粒子磁性的物理量，是电流、面积和匝数的乘积。
  • 安培力 (F): 载流导线在磁场中所受到的力，是导线内运动电荷所受洛伦兹力的宏观表现。
  • 磁化强度 (M): 描述磁介质被磁化程度的物理量，定义为单位体积内分子磁矩的矢量和。
  • 磁场强度 (H): 为处理磁介质问题引入的辅助矢量，其环路积分仅与传导电流有关。单位 A/m。

变化电磁场

  • 感应电动势 (\(\varepsilon_i\)): 因磁通量变化而在回路中产生的电动势。
  • 自感系数 (L): 表征线圈产生自感应能力大小的物理量。单位亨利 (H)。
  • 互感系数 (M): 表征两个线圈之间互感应能力大小的物理量。单位亨利 (H)。
  • 位移电流 (\(I_d\)): 由变化的电场产生的等效电流，是麦克斯韦对安培环路定律的关键补充。
  • 能流密度 (S): 即坡印廷矢量，描述电磁场能量流动的物理量，表示单位时间内垂直通过单位面积的能量。

二、 核心公式

静电场

  1. 库仑定律:

    • 公式: \(\bm{F}_{21} = \dfrac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \dfrac{q_1q_2}{r_{12}^2} \hat{\bm{r}}_{12}\)
    • 描述: 计算真空中两个静止点电荷之间的相互作用力。

  2. 电场强度 (E):

    • 定义式: \(\bm{E} = \dfrac{\bm{F}}{q_0}\)
    • 点电荷的场强: \(\bm{E} = \dfrac{q}{4 \pi \varepsilon_0 r^2} \hat{\bm{r}}\)
    • 连续分布电荷的场强 (积分法): \(\bm{E} = \int \dfrac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \dfrac{\mathrm{d} q}{r^2} \hat{\bm{r}}\)

  3. 电通量 (\(\Phi_e\)):

    • 公式: \(\Phi_e = \oiint\limits_S \bm{E} \cdot \mathrm{d}\bm{S}\)
    • 描述: 表示穿过某一曲面的电场线的“数量”。

  4. 高斯定理 (电场):

    • 公式: \(\oiint\limits_S \bm{E} \cdot \mathrm{d} \bm{S} = \dfrac{1}{\varepsilon_0} \sum q_{内}\)
    • 描述: 穿过任意闭合曲面的电通量，等于该曲面内所有电荷代数和的 \(\frac{1}{\varepsilon_0}\) 倍。用于求解具有高度对称性电荷分布的场强。
    • 推论:
      • 均匀带电球面 (半径R, 电荷q): \(E_{外} = \dfrac{q}{4 \pi \varepsilon_0 r^2}\), \(E_{内} = 0\)
      • 无限长带电直线 (线密度λ): \(E = \dfrac{\lambda}{2 \pi \varepsilon_0 r}\)
      • 无限大带电平面 (面密度σ): \(E = \dfrac{\sigma}{2 \varepsilon_0}\)

  5. 静电场环路定理:

    • 公式: \(\oint \bm{E} \cdot \mathrm{d} \bm{l} = 0\)
    • 描述: 电场强度沿任意闭合路径的线积分为零，表明静电场是保守场。

  6. 电势 (U):

    • 定义式: \(U_p = \int_p^{p_0}\bm{E} \cdot \mathrm{d}\bm{l}\) (p0为电势零点)
    • 点电荷的电势: \(U = \dfrac{q}{4\pi \varepsilon_0 r}\)
    • 电场力做功: \(A_{ab} = q_0(U_a - U_b)\)

  7. 电场与电势的关系:

    • 公式: \(\bm{E} = -\text{grad}\ U = -(\dfrac{\partial U}{\partial x} \overrightarrow{i} + \dfrac{\partial U}{\partial y} \overrightarrow{j} + \dfrac{\partial U}{\partial z} \overrightarrow{k})\)
    • 描述: 电场强度等于电势梯度的负值，表示电场线指向电势降低最快的方向。

  8. 电容器与电容 (C):

    • 定义式: \(C = \dfrac{Q}{U_{AB}}\)
    • 平行板电容器: \(C = \dfrac{\varepsilon S}{d}\)
    • 圆柱形电容器: \(C = \dfrac{2\pi \varepsilon l}{\ln (R_B/R_A)}\)
    • 球形电容器: \(C = 4 \pi \varepsilon \dfrac{R_A R_B}{R_B - R_A}\)
    • 串联: \(\dfrac{1}{C_{eq}} = \sum \dfrac{1}{C_i}\)
    • 并联: \(C_{eq} = \sum C_i\)

  9. 电介质:

    • 电位移矢量: \(\bm{D} = \varepsilon_0 \bm{E} + \bm{P} = \varepsilon \bm{E}\)
    • 极化强度: \(\bm{P} = \varepsilon_0(\varepsilon_r - 1)\bm{E}\)
    • 高斯定理 (含介质): \(\oiint\limits_S \bm{D} \text{d} \bm{S} = \sum q_{自由}\)

  10. 静电场能量:

    • 电容器能量: \(W = \dfrac{1}{2}CU^2 = \dfrac{1}{2}QU = \dfrac{Q^2}{2C}\)
    • 电场能量密度: \(\omega_e = \dfrac{1}{2}\varepsilon E^2 = \dfrac{1}{2}DE\)

稳恒电流与磁场

  1. 电流密度 (j):

    • 公式: \(I = \int_S \bm{j} \cdot \mathrm{d}\bm{S}\)
    • 微观关系: \(\bm{j} = nq\bm{v}_d\)

  2. 欧姆定律 (微分形式):

    • 公式: \(\bm{j} = \gamma \bm{E}\) (γ为电导率) 或 \(\bm{E} = \rho \bm{j}\) (ρ为电阻率)

  3. 毕奥-萨伐尔定律:

    • 公式: \(\text{d} \bm{B} = \dfrac{\mu_0}{4 \pi}\dfrac{I\text{d} \bm{l} \times \bm{r}}{r^3}\)
    • 描述: 计算一小段电流元在空间某点产生的磁感应强度。
    • 推论:
      • 无限长直导线: \(B = \dfrac{\mu_0 I}{2 \pi a}\)
      • 圆线圈圆心: \(B = \dfrac{\mu_0 I}{2 R}\)
      • 无限长螺线管内部: \(B = \mu_0 nI\)

  4. 安培环路定律 (磁场):

    • 公式: \(\oint\limits_L \bm{B} \text{d}\bm{l} = \mu_0 \sum I_{内}\)
    • 描述: 磁感应强度沿任意闭合回路的线积分，等于该回路所包围的传导电流代数和的 \(\mu_0\) 倍。

  5. 高斯定理 (磁场):

    • 公式: \(\oiint\limits_S \bm{B} \text{d} \bm{S} = 0\)
    • 描述: 穿过任意闭合曲面的磁通量恒为零，表明磁场是无源场。

  6. 洛伦兹力与安培力:

    • 洛伦兹力: \(\bm{F} = q(\bm{E} + \bm{v} \times \bm{B})\)
    • 安培力: \(\text{d}\bm{F} = I\text{d}\bm{l} \times \bm{B}\)

  7. 磁介质:

    • 磁场强度: \(\bm{H} = \dfrac{\bm{B}}{\mu_0} - \bm{M}\)
    • 磁化强度: \(\bm{M} = \chi_m \bm{H}\)
    • 关系: \(\bm{B} = \mu \bm{H} = \mu_0 \mu_r \bm{H}\)
    • 安培环路定律 (含介质): \(\oint\limits_L \bm{H} \text{d} \bm{l} = \sum I_{传导}\)

  8. 磁场能量:

    • 电感储能: \(W_m = \dfrac{1}{2}LI^2\)
    • 磁场能量密度: \(u_m = \dfrac{1}{2}BH = \dfrac{B^2}{2\mu}\)

电磁感应与麦克斯韦方程组

  1. 法拉第电磁感应定律:

    • 公式: \(\varepsilon_i = -\dfrac{\text{d}\Phi_m}{\text{d}t}\)
    • 描述: 闭合回路中的感应电动势大小，等于穿过该回路磁通量变化率的负值。

  2. 动生电动势:

    • 公式: \(\text{d}\varepsilon_i = (\bm{v} \times \bm{B}) \cdot \text{d}\bm{l}\)
    • 描述: 导体在磁场中运动切割磁感线时，在导体内产生的电动势。
    • 直导线平动 (L, v, B三者垂直): \(\varepsilon_i = BLv\)
    • 直导线转动 (绕一端): \(\varepsilon_i = \dfrac{1}{2}\omega B L^2\)

  3. 感生电动势 (涡旋电场):

    • 公式: \(\oint\limits_{L} \bm{E}_i \cdot \text{d}\bm{l} = -\iint\limits_{S} \dfrac{\partial \bm{B}}{\partial t} \cdot \text{d} \bm{S}\)
    • 描述: 由变化的磁场在周围空间激发出的非保守电场（涡旋电场）所产生的电动势。

  4. 自感与互感:

    • 自感电动势: \(\varepsilon_L = -L \dfrac{\text{d}i}{\text{d}t}\)
    • 互感电动势: \(\varepsilon_{21} = -M \dfrac{\text{d}i_1}{\text{d}t}\)
    • 磁链定义: \(\Psi = LI\) 或 \(\Psi_{21} = MI_1\)

  5. 位移电流:

    • 定义: \(I_d = \dfrac{\text{d}\Phi_D}{\text{d}t} = \varepsilon \dfrac{\text{d}\Phi_E}{\text{d}t}\)
    • 电流密度: \(\bm{j}_d = \dfrac{\partial \bm{D}}{\partial t}\)

  6. 麦克斯韦方程组 (积分形式):

    • \(\oiint\limits_S \bm{D} \cdot \text{d}S = \sum q_{自由}\) (电场高斯定理)
    • \(\oiint\limits_S \bm{B} \cdot \text{d}S = 0\) (磁场高斯定理)
    • \(\oint\limits_L \bm{E} \cdot \text{d}l = -\iint\limits_S \dfrac{\partial \bm{B}}{\partial t}\text{d}S\) (法拉第电磁感应定律)
    • \(\oint\limits_L \bm{H} \cdot \text{d}l = \iint\limits_S (\bm{j}_{自由} + \dfrac{\partial \bm{D}}{\partial t}) \cdot \text{d}S\) (全电流定律)
    • 描述: 统一了电、磁现象，并预言了电磁波的存在，是整个经典电磁学的理论基础。

  7. 电磁波:

    • 真空中波速: \(c = \dfrac{1}{\sqrt{\mu_0 \varepsilon_0}}\)
    • 场强关系: \(E = cB\)
    • 能流密度 (坡印廷矢量): \(\bm{S} = \bm{E} \times \bm{H}\)
    • LC振荡频率: \(\omega = \dfrac{1}{\sqrt{LC}}\)

三、 核心方法

  1. 微元法 + 积分法:

    • 应用: 求解连续分布的电荷（或电流）产生的电场（或磁场）。
    • 步骤:
      1. 将连续分布的电荷（或电流）分割为微元 \(dq\)（或 \(Idl\)）。
      2. 将微元视为点电荷（或电流元），使用库仑定律（或毕奥-萨伐尔定律）写出其产生的场 \(d\bm{E}\)（或 \(d\bm{B}\)）。
      3. 考虑对称性，将场矢量分解，对有效分量进行积分，得到总场强。

  2. 高斯定理法:

    • 应用: 求解具有高度对称性（球对称、轴对称、面对​​称）的电荷分布所激发的电场。
    • 步骤:
      1. 根据电场分布的对称性，选择一个合适的高斯面（球面、圆柱面、方盒面）。
      2. 计算穿过高斯面的电通量 \(\Phi_e\)。
      3. 计算高斯面内的总电荷 \(\sum q_i\)。
      4. 根据高斯定理 \(\Phi_e = \frac{\sum q_i}{\varepsilon_0}\) 求解场强 \(E\)。

  3. 安培环路定律法:

    • 应用: 求解具有高度对称性（无限长直导线、无限大电流面、螺线管）的电流分布所激发的磁场。
    • 步骤:
      1. 根据磁场分布的对称性，选择一个合适的安培环路。
      2. 计算磁感应强度沿该环路的积分 \(\oint \bm{B} \cdot d\bm{l}\)。
      3. 计算穿过环路的总电流 \(\sum I\)。
      4. 根据安培环路定律 \(\oint \bm{B} \cdot d\bm{l} = \mu_0 \sum I\) 求解磁感应强度 \(B\)。

  4. 叠加原理:

    • 应用: 当场源可被分解为多个基本模型（如多个点电荷、多段直线电流）的组合时，用于求解总的电场或磁场。
    • 步骤:
      1. 将复杂的场源分解为几个简单的部分。
      2. 分别求出每个简单部分在某点产生的场（矢量）。
      3. 将所有场矢量进行矢量相加，得到该点的总场强。

  5. 等效法:

    • 应用: 处理复杂或运动的电磁学问题。
    • 示例:
      • 运动电荷等效为电流: 匀速运动的点电荷或旋转的带电圆盘，可以等效为稳恒电流来计算其产生的磁场。
      • 磁介质等效为束缚电流: 磁介质的磁化效果可以等效为其表面出现的束缚电流（磁化电流），从而计算附加磁场。
      • 电介质等效为束缚电荷: 电介质的极化效果可以等效为其表面出现的束缚电荷（极化电荷），从而计算附加电场。

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